平ベルトコンベアにおいて、駆動プーリとベルト間での摩擦力に関する式を教えて下さい
平ベルトコンベア設計において、駆動プーリとベルト間での摩擦力に関する式(駆動プーリ径、ベルト幅、ベルト張力、ベルト接触角、摩擦係数の関係式)を教えていただけないでしょうか?
先ず,「駆動プーリとベルト間での摩擦力に関する式」摩擦伝動においては,一般的にオイラー(Euler)の式より,次式で表されます。
\mathrm{e}^{\mu 0 \theta} = \frac{T_t}{T_s} (1)
このとき,伝動ベルトと違い搬送速度も遅いことから,遠心力の影響を無視できます。また,クーロンの法則からも接触面積(プーリ径やベルト幅)とは関係がありません。
伝動ベルトが,駆動プーリ(原動プーリ)からベルトに伝えられた力が従動プーリで消費されるのに対して,コンベヤベルトの場合には搬送物を移動させるために消費されます。このとき,有効張力T_eが搬送物重量と支持台との摩擦力よりも大きい場合に駆動プーリ上でスリップすることなく仕事をすることが出来ます。
ベルト選定と張力の関係につきまして,図1のように,一般的なコンベヤレイアウトと力関係の式を順に説明させていただきます。
コンベアベルトのレイアウト
図より,有効張力T_eは,
T_e = T_t - T_s = T_t (1-\frac{1}{\mathrm{e}^{\mu 0 \theta}}) (2)
ここで,
T_e \geq 9.81 \times (m_w+m_b) \times \mu_2 (3)
のとき,搬送物が動き出します。ここでも,ローラ等の回転部重量及びプーリ上での曲げ応力は無視できるものとします。
次に,ベルト幅につきましては,通常は搬送物の形状から決まるケースが多く,そのベルト幅で算出される張り側張力が許容張力を上回らないベルトタイプを選定しないといけません。その場合には,駆動プーリ以外のプーリは最小プーリ径を上まわらないといけませんが,合わせてプーリのたわみも考慮しないといけません。今回は,この計算に関しましては省略致します。以下に実際のコンベア装置を想定した計算例を示します。
・搬送物質量m_w=100 [kg]
・ベルト総質量m_b=15 [kg]
・ベルト幅b=1000 [mm]
・接触角\theta=210 [deg]=3.66 [rad]
・ベルトと鋼製プーリ間の摩擦係数\mu_0=0.15 [-]
・ベルトの応力緩和後の弾性係数k_{1 \%}=5 [N/mm]・・JIS K6378(注1)
・取付張率\epsilon=0.3[%]
・ベルトと支持台間の静摩擦係数\mu _1=0.2 [-]・・支持台の材質と使用環境により変化します.
式(3)より,
T_e \geq 9.81 \times (100+15) \times 0.2 \simeq 226 [N]
式(2)より,
T_t =\frac{T_e}{1-\frac{1}{\mathrm{e}^{\mu 0 \theta}}}=\frac{226}{1-\frac{1}{\mathrm{e}^{0.15 \times 3.66}}} \simeq 313 [N]
ここで,許容張力を超えていないかの確認をします。
T_t = 313 \leq 5 \times 1000 [N] ・・OK
しかし,この場合駆動プーリとベルト間で十分な摩擦力を得られないケースが多いのです。理由は,ベルトタイプにより縦弾性係数が違うことと,プーリ径によっては十分な走行安定性が得られないからです。このため,一般的に取付張率の推奨値を各ベルトメーカによって設けています。今回は,取付張率ε=0.3 [%]として計算してみます。その場合、式(4)の軸荷重を用いて式(5)にて有効張力が得られます。
軸荷重は,ベルト取付時には
F_w = 2 \times \epsilon \times k_{1 \%} \times 1000 = 3000 [N] (4)
となります。
これから有効張力T_e
T_e = F_w \times \frac{\mathrm{e}^{\mu 0 \theta}-1}{\mathrm{e}^{\mu 0 \theta}+1} (5)
= 3000 \times \frac{3.61-1}{3.61+1} \simeq 1700 \leq 5000 [N] ・・OK
となります.結果として,今回選定したクラスのベルトは問題無く使用できることが確認出来ました。

使用した記号の一覧

記号 意味 単位
T_t 張り側張力 [N]
T_s 緩み側張力 [N]
T_e 有効張力 [N]
\mu_0 プーリとベルト間の摩擦係数 [-]
\mu_1 支持台とベルト間の摩擦係数 [-]
\theta プーリとベルト間の接触角 [rad]
m_w 搬送物質量 [kg]
m_b ベルト総質量 [kg]
b ベルト幅 [mm]
k_{1\%} 単位幅当りのベルトの応力緩和後の弾性係数 [N/mm]
k_{adm} 単位幅当りのベルトの許容張力 [N/mm]
F_w 軸荷重 [N]

注1) 樹脂ベルトの場合,鉄などの単一素材ではなく,ポリエステル心体にウレタンや,PVCなどで構成される複合素材となりますので,断面積で数値化することは出来ません。 具体的には,心体の帆布の弾性係数に負う部分が大きく,中間層,カバー層のPVCなどの樹脂の厚みの違いによって断面積が大きく変わるので,同じ能力のベルトを断面積で表すと違った値になります.従って,単位幅当たりの値で表す方が強度計算する上でも使いやすいのです。